Задачи по Производна
Около 200 задачи по темата „Производна“, подредени от лесни към трудни. Всяка с отговор и обяснение стъпка по стъпка.
Подходящи за
Примерни задачи: Производна
Първите няколко от банката, от по-лесното нагоре.
-
Дадена е функцията f(x) = 2x² + 2x + 4. Колко е f′(4)?
Отговор: 18
Идея: Диференцираме почленно: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, а производната на константа е 0. 1) f′(x) = 4x + 2. 2) f′(4) = 4 · 4 + 2 = 16 + 2 = 18. Отговор: f′(4) = 18 Проверка: Свободният член 4 не влияе на производната — той изчезва при диференциране. Внимание: Коефициентът пред x² се умножава по 2, а показателят пада с единица.
-
За коя стойност на x функцията f(x) = 2x² − 12x + 18 има минимум?
Отговор: 3
Идея: В точка на екстремум производната е нула; при a > 0 това е минимум. 1) f′(x) = 4x − 12. 2) 4x − 12 = 0 дава x = 12 : 4 = 3. 3) Понеже 2 > 0, параболата е с клони нагоре и това е минимум. Отговор: x = 3 Проверка: f(3) = 0, а съседните стойности f(2) = 2 и f(4) = 2 са по-големи. Внимание: Нулата на производната дава мястото на екстремума, а не стойността му.
-
Колко е ъгловият коефициент на допирателната към графиката на f(x) = 2x² + 4x в точката с абсциса x = 2?
Отговор: 12
Идея: Ъгловият коефициент на допирателната в дадена точка е стойността на производната там. 1) f′(x) = 4x + 4. 2) k = f′(2) = 4 · 2 + 4 = 12. Отговор: k = 12 Проверка: Ако k = 0, допирателната е хоризонтална — тук k = 12 ≠ 0, значи не е. Внимание: Търси се производната в точката, а не стойността на функцията.
-
Колко е ъгловият коефициент на допирателната към графиката на f(x) = 10x² + 22x в точката с абсциса x = 5?
Отговор: 122
Идея: Ъгловият коефициент на допирателната в дадена точка е стойността на производната там. 1) f′(x) = 20x + 22. 2) k = f′(5) = 20 · 5 + 22 = 122. Отговор: k = 122 Проверка: Ако k = 0, допирателната е хоризонтална — тук k = 122 ≠ 0, значи не е. Внимание: Търси се производната в точката, а не стойността на функцията.
-
Колко е ъгловият коефициент на допирателната към графиката на f(x) = 11x² + 9x в точката с абсциса x = −9?
Отговор: -189
Идея: Ъгловият коефициент на допирателната в дадена точка е стойността на производната там. 1) f′(x) = 22x + 9. 2) k = f′(−9) = 22 · −9 + 9 = −189. Отговор: k = −189 Проверка: Ако k = 0, допирателната е хоризонтална — тук k = −189 ≠ 0, значи не е. Внимание: Търси се производната в точката, а не стойността на функцията.
-
Колко е ъгловият коефициент на допирателната към графиката на f(x) = 23x² + 79x в точката с абсциса x = 18?
Отговор: 907
Идея: Ъгловият коефициент на допирателната в дадена точка е стойността на производната там. 1) f′(x) = 46x + 79. 2) k = f′(18) = 46 · 18 + 79 = 907. Отговор: k = 907 Проверка: Ако k = 0, допирателната е хоризонтална — тук k = 907 ≠ 0, значи не е. Внимание: Търси се производната в точката, а не стойността на функцията.
Още от „Анализ“
Дай му 15 минути днес
Първата тренировка намира нивото. Оттам нататък Wunderkind избира задачите — ти само гледаш как се движи.