Задачи по математика за 12. клас
Около 1 900 задачи за 12. клас — от лесни към трудни, всяка с отговор и решение. В профила детето решава по 15 минути на ден, а трудността се нагажда след всеки отговор.
Примерни задачи за 12. клас с отговори
Точно както детето ги вижда в приложението — с отговора и обяснението отдолу, за да можеш да ги решите заедно.
-
Аритметична прогресия започва с 1 и има разлика 11. Кой е 38-ият ѝ член?
Отговор: 408
Идея: aₙ = a₁ + (n − 1)d — от първия член се правят n − 1 стъпки. 1) n − 1 = 37 стъпки по 11: 37 · 11 = 407. 2) a38 = 1 + 407 = 408. Отговор: a38 = 408 Проверка: a₂ = 12, a₃ = 23 — стъпката е постоянна. Внимание: Стъпките са n − 1, не n: първият член вече е на мястото си.
-
В салон първият ред има 18 места, а всеки следващ — с 3 повече. Редовете са 13. Колко места има салонът?
Отговор: 468
Идея: Местата по редове образуват аритметична прогресия; търси се сборът ѝ. 1) Последен ред: 18 + 12 · 3 = 54 места. 2) Сбор: (18 + 54) · 13 : 2 = 72 · 13 : 2 = 468. Отговор: 468 места Проверка: Средно по 36 места на ред при 13 реда. Внимание: Не се умножава първият ред по броя редове — местата растат.
-
Права призма има за основа правоъгълник 52 см на 59 см и височина 94 см. Колко кубични сантиметра е обемът ѝ?
Отговор: 288392
Идея: Обемът на права призма е лице на основата по височина. 1) Основа: 52 · 59 = 3068 см². 2) V = 3068 · 94 = 288392 см³. Отговор: 288392 см³ Проверка: Ако височината се удвои, обемът става 576784 см³. Внимание: Височината на призмата е перпендикулярна на основата — не е диагонал.
-
В триъгълник срещу ъгъл от 30° лежи страна 14 см. Колко сантиметра е страната срещу правия ъгъл?
Отговор: 28
Идея: Синусова теорема: a : sin α = b : sin β — страните са пропорционални на синусите на срещулежащите ъгли. 1) 14 : sin 30° = x : sin 90°. 2) sin 30° = 1/2, sin 90° = 1. 3) x = 14 · 1 : (1/2) = 28 см. Отговор: 28 см Проверка: Срещу по-големия ъгъл лежи по-голямата страна: 90° > 30° и 28 > 14. Внимание: Отношението е страна към синус на срещулежащия ъгъл, а не към самия ъгъл.
-
За коя стойност на x функцията f(x) = 2x² − 20x + 15 има минимум?
Отговор: 5
Идея: В точка на екстремум производната е нула; при a > 0 това е минимум. 1) f′(x) = 4x − 20. 2) 4x − 20 = 0 дава x = 20 : 4 = 5. 3) Понеже 2 > 0, параболата е с клони нагоре и това е минимум. Отговор: x = 5 Проверка: f(5) = −35, а съседните стойности f(4) = −33 и f(6) = −33 са по-големи. Внимание: Нулата на производната дава мястото на екстремума, а не стойността му.
-
Колко е ъгловият коефициент на допирателната към графиката на f(x) = 23x² + 79x в точката с абсциса x = 18?
Отговор: 907
Идея: Ъгловият коефициент на допирателната в дадена точка е стойността на производната там. 1) f′(x) = 46x + 79. 2) k = f′(18) = 46 · 18 + 79 = 907. Отговор: k = 907 Проверка: Ако k = 0, допирателната е хоризонтална — тук k = 907 ≠ 0, значи не е. Внимание: Търси се производната в точката, а не стойността на функцията.
Теми за 12. клас
Темите са подредени по това колко задачи има зад всяка от тях. Няма фиксиран ред — детето получава темите, за които вече е готово.
Подготовка за матурата по математика
Държавният зрелостен изпит по математика обхваща програмата от 8. до 12. клас. Тук има задачи по голяма част от нея — функции, логаритми, тригонометрия, прогресии, вероятности, стереометрия и производни — с решение стъпка по стъпка. Аналитична геометрия и задачи с подробно писмено решение още няма, затова това е тренировка, а не цялата подготовка.
- Задачите вървят от лесни към трудни, по всички теми наведнъж
- След всяка грешка идва обяснение, докато задачата е още в главата
- Темите, които се бъркат, се връщат след няколко дни — точно преди изпита това е преговорът
Матура по математика (ДЗИ): дата, формат и примерни задачи →
Другите класове
Дай му 15 минути днес
Първата тренировка намира нивото. Оттам нататък Wunderkind избира задачите — ти само гледаш как се движи.