Квадратни уравнения
Уравнение, в което x е на квадрат. Ако начертаеш y = ax² + bx + c, получаваш крива — парабола. Решенията са абсцисите на точките, в които тя пресича оста x.
Накратко
- Общият вид е ax² + bx + c = 0, като a не може да е 0 — иначе x² изчезва и уравнението вече не е квадратно.
- Първо смяташ дискриминантата D = b² − 4ac. Тя казва колко са решенията — две, едно или нито едно.
- {"После прилагаш формулата x = (−b ± √D)" => "(2a) — делиш на цялото 2a."}
Направи си парабола
Мести a, b и c и гледай кривата. Когато пресече оста x два пъти, уравнението има две решения. Когато само я докосне — едно. Когато изобщо не я стигне — нито едно.
Числото a решава накъде е отворена параболата — нагоре при a > 0, надолу при a < 0. А c показва къде тя пресича оста y — в точката (0; c).
a не може да е 0 — затова плъзгачът го прескача.
Дискриминантата казва колко са решенията
Във формулата има √D. Квадратният корен на положително число е едно положително число, а знакът ± пред него дава две различни стойности — затова решенията са две. Ако D = 0, коренът е 0 и плюсът и минусът дават едно и също число. Ако D е отрицателно, корен няма — сред реалните числа никое число на квадрат не дава отрицателно.
{"Пример — x² − x − 6 = 0. Тук a = 1, b = −1, c = −6. D = (−1)² − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25, а √25 = 5. Тогава x = (1 ± 5)" => "2, т.е. x₁ = 3 и x₂ = −2."}
По-бързият път — разлагане
Ако уравнението се разлага на множители, формулата не ти трябва. x² − 5x + 6 = 0 е същото като (x − 2)(x − 3) = 0. Произведение е нула само ако някой от множителите е нула, затова x = 2 или x = 3.
Провери (това правило важи, когато a = 1): 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6. Сборът на корените е −b, а произведението им е c — точно числата от уравнението.
Когато липсва член
Без b — x² − 9 = 0 значи x² = 9, а и 3², и (−3)² дават 9. Решенията са 3 и −3.
Без c — x² − 4x = 0 значи x(x − 4) = 0. Изнасяш x пред скоби и решенията са 0 и 4. Не дели на x, защото губиш решението 0.
Капани
- Знакът на b. В уравнението x² − 5x + 6 = 0 коефициентът b е −5, затова −b е +5.
- (−3)² е 9, не −9. Квадратът на отрицателно число е положителен. Това е най-честата грешка при смятането на D.
- Делиш на 2a, не на 2. Ако a = 3, знаменателят във формулата е 6. А ако a е отрицателно, и знаменателят е отрицателен.
Провери се
Реши x² − 9 = 0. Покажи отговора
x = 3 или x = −3. x² = 9, а и 3², и (−3)² са 9.
Колко решения има x² + 2x + 5 = 0? Покажи отговора
Нито едно реално. D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16 < 0.
Реши x² − 6x + 9 = 0. Покажи отговора
x = 3 — само едно решение. D = 36 − 36 = 0, а уравнението е (x − 3)² = 0.