Wunderkind
Вход Създай профил
9. клас 10. клас 6 минути

Какво е тригонометрия?

Тригонометрията е за това как ъглите и страните на триъгълника зависят едни от други. Знаеш ли един остър ъгъл и една страна на правоъгълен триъгълник, намираш останалото — дори височината на дърво, без да се качваш на него.

Накратко

  • {"В правоъгълен триъгълник sin α = срещулежащ катет" => "хипотенуза."}
  • cos α = прилежащ катет : хипотенуза, а tg α = срещулежащ катет : прилежащ катет.
  • Тези отношения зависят само от ъгъла, не от това колко голям е триъгълникът.

Завърти ъгъла

Вземи правоъгълен триъгълник с хипотенуза, дълга точно 1. Тогава синусът е просто височината на триъгълника, а косинусът — ширината му. Завърти ъгъла и гледай как едното расте, а другото намалява.

α sin α cos α 1
sin 35°
cos 35°
tg 35°

Защо размерът няма значение

Увеличи триъгълника два пъти — всяка страна става двойно по-дълга, но ъглите остават същите. Отношенията между страните не се променят, затова sin 30° е 1/2 и в малък, и в огромен триъгълник.

Така от едно-единствено число за ъгъла знаеш формата на триъгълника. Остава ти само една страна, за да намериш всички останали.

Колко е високо дървото?

Стоиш на 20 м от дърво и гледаш към върха му. Ъгълът, под който гледаш, и разстоянието стигат — височина = 20 · tg α. Тук ъгълът се мери от земята; ако го мериш от очите си, добави и височината на очите си. Така се мерят сгради, планини и разстояния до кораби в морето.

20 м

Капани

  • „Срещулежащ“ зависи от ъгъла. Катетът срещу α е прилежащ за другия остър ъгъл. Винаги гледай от кой ъгъл говориш.
  • Синус и косинус на остър ъгъл са между 0 и 1. Катетът винаги е по-къс от хипотенузата. Ако получиш 1,3, нещо е объркано.
  • Градуси или радиани? Тук ъглите са в градуси. На калкулатора провери, че е на „DEG“, иначе sin 30 ще излезе грешно. Радианите идват по-късно — те са друга мярка за същия ъгъл.

Провери се

В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 10, а ъгълът α е 30°. Колко е катетът срещу α? Покажи отговора

5. sin 30° = 1/2, а 10 · 1/2 = 5.

Защо sin α никога не е по-голям от 1 в правоъгълен триъгълник? Покажи отговора

Защото катетът е винаги по-къс от хипотенузата, а синусът е катет, разделен на хипотенузата.

Колко е tg 45°? Покажи отговора

1. При 45° двата катета са равни, а тангенсът е единият, разделен на другия.

Задачи с решения

Няколко задачи от тази тема, с обяснение под всяка. В приложението ще получиш такива — на твоето ниво.

  1. Тригонометрични функции Ниво Отличен

    Колко е cos 30°?

    • −1
    • −√3
    • √2/2
    • √3/2

    Отговор: √3/2

    Идея: Стойностите за 0°, 30°, 45°, 60° и 90° се четат от правоъгълните триъгълници 30-60-90 и 45-45-90 (или от единичната окръжност). 1) cos α е абсцисата на точката от единичната окръжност при ъгъл α. 2) За 30° таблицата дава √3/2. Отговор: √3/2 Проверка: Проверка чрез основното тъждество: sin²α + cos²α = 1 за всеки ъгъл. Внимание: sin расте от 0 до 1 при ъгъл от 0° до 90°, а cos намалява от 1 до 0.

  2. Тригонометрични функции Ниво Състезател

    В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 18 см, а един от острите ъгли е 30°. Колко сантиметра е катетът срещу ъгъла от 30°?

    Отговор: 9

    Идея: Катетът срещу ъгъл от 30° е равен на половината от хипотенузата — това е известното свойство на триъгълника 30-60-90. 1) sin 30° = 1/2, а sin 30° = катет : хипотенуза. 2) катет = 18 · 1/2 = 9 см. Отговор: 9 см Проверка: Другият катет е 15,59 см (половин хипотенуза по √3) — по-дълъг, както се очаква срещу 60°. Внимание: Половината е от хипотенузата, не от другия катет.

  3. Тригонометрични функции Ниво Състезател

    В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 46 см, а един от острите ъгли е 30°. Колко сантиметра е катетът срещу ъгъла от 30°?

    Отговор: 23

    Идея: Катетът срещу ъгъл от 30° е равен на половината от хипотенузата — това е известното свойство на триъгълника 30-60-90. 1) sin 30° = 1/2, а sin 30° = катет : хипотенуза. 2) катет = 46 · 1/2 = 23 см. Отговор: 23 см Проверка: Другият катет е 39,84 см (половин хипотенуза по √3) — по-дълъг, както се очаква срещу 60°. Внимание: Половината е от хипотенузата, не от другия катет.

  4. Тригонометрични функции Ниво Състезател

    В правоъгълен триъгълник срещуположният на ъгъл α катет е 110 см, прилежащият е 96 см, а хипотенузата е 146 см. Колко е cos α? Запиши като несъкратима дроб.

    Отговор: 4873

    Идея: Определенията: sin = срещулежащ катет : хипотенуза, cos = прилежащ катет : хипотенуза, tg = срещулежащ : прилежащ. 1) cos α = 96 : 146 = 48/73. 2) Дробта се съкращава до 48/73. Отговор: 48/73 Проверка: Триъгълникът е правоъгълен: 110² + 96² = 21316 = 146². Внимание: sin и cos винаги са под 1 (катет е по-малък от хипотенузата), а tg може да е и над 1.

Всички задачи по темата „Тригонометрични функции“

Още обяснения

Дай му 15 минути днес

Първата тренировка намира нивото. Оттам нататък Wunderkind избира задачите — ти само гледаш как се движи.

Създай профил → Виж как работи