Задачи по Тригонометрични функции
Около 300 задачи по темата „Тригонометрични функции“, подредени от лесни към трудни. Всяка с отговор и обяснение стъпка по стъпка.
Примерни задачи: Тригонометрични функции
Първите няколко от банката, от по-лесното нагоре.
-
Колко е cos 30°?
Отговор: √3/2
Идея: Стойностите за 0°, 30°, 45°, 60° и 90° се четат от правоъгълните триъгълници 30-60-90 и 45-45-90 (или от единичната окръжност). 1) cos α е абсцисата на точката от единичната окръжност при ъгъл α. 2) За 30° таблицата дава √3/2. Отговор: √3/2 Проверка: Проверка чрез основното тъждество: sin²α + cos²α = 1 за всеки ъгъл. Внимание: sin расте от 0 до 1 при ъгъл от 0° до 90°, а cos намалява от 1 до 0.
-
В правоъгълен триъгълник срещуположният на ъгъл α катет е 10 см, прилежащият е 24 см, а хипотенузата е 26 см. Колко е tg α? Запиши като несъкратима дроб.
Отговор: 512
Идея: Определенията: sin = срещулежащ катет : хипотенуза, cos = прилежащ катет : хипотенуза, tg = срещулежащ : прилежащ. 1) tg α = 10 : 24 = 5/12. 2) Дробта се съкращава до 5/12. Отговор: 5/12 Проверка: Триъгълникът е правоъгълен: 10² + 24² = 676 = 26². Внимание: sin и cos винаги са под 1 (катет е по-малък от хипотенузата), а tg може да е и над 1.
-
В правоъгълен триъгълник срещуположният на ъгъл α катет е 12 см, прилежащият е 16 см, а хипотенузата е 20 см. Колко е cos α? Запиши като несъкратима дроб.
Отговор: 45
Идея: Определенията: sin = срещулежащ катет : хипотенуза, cos = прилежащ катет : хипотенуза, tg = срещулежащ : прилежащ. 1) cos α = 16 : 20 = 4/5. 2) Дробта се съкращава до 4/5. Отговор: 4/5 Проверка: Триъгълникът е правоъгълен: 12² + 16² = 400 = 20². Внимание: sin и cos винаги са под 1 (катет е по-малък от хипотенузата), а tg може да е и над 1.
-
В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 46 см, а един от острите ъгли е 30°. Колко сантиметра е катетът срещу ъгъла от 30°?
Отговор: 23
Идея: Катетът срещу ъгъл от 30° е равен на половината от хипотенузата — това е известното свойство на триъгълника 30-60-90. 1) sin 30° = 1/2, а sin 30° = катет : хипотенуза. 2) катет = 46 · 1/2 = 23 см. Отговор: 23 см Проверка: Другият катет е 39,84 см (половин хипотенуза по √3) — по-дълъг, както се очаква срещу 60°. Внимание: Половината е от хипотенузата, не от другия катет.
-
В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 126 см, а един от острите ъгли е 30°. Колко сантиметра е катетът срещу ъгъла от 30°?
Отговор: 63
Идея: Катетът срещу ъгъл от 30° е равен на половината от хипотенузата — това е известното свойство на триъгълника 30-60-90. 1) sin 30° = 1/2, а sin 30° = катет : хипотенуза. 2) катет = 126 · 1/2 = 63 см. Отговор: 63 см Проверка: Другият катет е 109,12 см (половин хипотенуза по √3) — по-дълъг, както се очаква срещу 60°. Внимание: Половината е от хипотенузата, не от другия катет.
-
Ако sin α = −1517 и α ∈ (270°; 360°), намерете cos α.
Отговор: 817
Идея: От sin²α + cos²α = 1 намираме втората функция по абсолютна стойност, а знакът ѝ се чете от квадранта. 1) cos²α = 1 − (−15/17)² = 1 − 225/289 = 64/289. 2) α е в IV квадрант, където cos α > 0, затова cos α = 8/17. Отговор: cos α = 8/17 Проверка: (−15/17)² + (8/17)² = 225/289 + 64/289 = 1. Внимание: Коренът дава две стойности ±8/17 — квадрантът решава коя е вярната.
Още от „Тригонометрия“
Дай му 15 минути днес
Първата тренировка намира нивото. Оттам нататък Wunderkind избира задачите — ти само гледаш как се движи.