Задачи по Решаване на триъгълник
Около 200 задачи по темата „Решаване на триъгълник“, подредени от лесни към трудни. Всяка с отговор и обяснение стъпка по стъпка.
Примерни задачи: Решаване на триъгълник
Първите няколко от банката, от по-лесното нагоре.
-
Лицето на триъгълник е 10 см², а една от страните му е 4 см. Колко сантиметра е височината към тази страна?
Отговор: 5
Идея: От S = a · h : 2 следва h = 2S : a. 1) 2S = 2 · 10 = 20. 2) h = 20 : 4 = 5 см. Отговор: 5 см Проверка: 4 · 5 : 2 = 10 см². Внимание: Умножението по 2 е задължително — иначе височината излиза наполовина.
-
В триъгълник ABC страната BC е 10 см, а ∠A = 30°. Намерете радиуса R на описаната окръжност.
Отговор: 10
Идея: Синусовата теорема: BC : sin A = 2R — страната и срещулежащият ѝ ъгъл дават радиуса на описаната окръжност. 1) sin 30° = 1/2. 2) R = BC : (2 sin A) = 10 : (2 · 1/2) = 10 см. Отговор: 10 см Проверка: 10 : 1/2 = 20 = 2 · 10. Внимание: BC лежи срещу ∠A — във формулата влиза точно този ъгъл.
-
Лицето на триъгълник е 190 см², а една от страните му е 38 см. Колко сантиметра е височината към тази страна?
Отговор: 10
Идея: От S = a · h : 2 следва h = 2S : a. 1) 2S = 2 · 190 = 380. 2) h = 380 : 38 = 10 см. Отговор: 10 см Проверка: 38 · 10 : 2 = 190 см². Внимание: Умножението по 2 е задължително — иначе височината излиза наполовина.
-
Лицето на триъгълник е 1395 см², а една от страните му е 62 см. Колко сантиметра е височината към тази страна?
Отговор: 45
Идея: От S = a · h : 2 следва h = 2S : a. 1) 2S = 2 · 1395 = 2790. 2) h = 2790 : 62 = 45 см. Отговор: 45 см Проверка: 62 · 45 : 2 = 1395 см². Внимание: Умножението по 2 е задължително — иначе височината излиза наполовина.
-
В триъгълник ABC страната BC е 13 см, а ∠B = 11° и ∠C = 19°. Намерете радиуса R на описаната окръжност.
Отговор: 13
Идея: Синусовата теорема: BC : sin A = 2R — страната и срещулежащият ѝ ъгъл дават радиуса на описаната окръжност. 1) ∠A = 180° − 11° − 19° = 150°. 2) sin 150° = 1/2. 3) R = BC : (2 sin A) = 13 : (2 · 1/2) = 13 см. Отговор: 13 см Проверка: 13 : 1/2 = 26 = 2 · 13. Внимание: sin 150° = sin 30° = 1/2 — тъп ъгъл не променя формулата.
-
Триъгълник има страни 102 см и 108 см и ъгъл 60° между тях. Колко сантиметра е третата страна? (Закръгли до стотни.)
Отговор: 105,13
Идея: Косинусова теорема: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. При γ = 60° косинусът е 1/2, значи c² = a² + b² − ab. 1) a² + b² = 10404 + 11664 = 22068. 2) 2ab · cos 60° = 2 · 102 · 108 · 1/2 = 11016. 3) c² = 22068 − 11016 = 11052, значи c = √11052 ≈ 105,13 см. Отговор: 105,13 см Проверка: Проверка с неравенството на триъгълника: 105,13 < 102 + 108 = 210. Внимание: При 90° формулата се свежда до Питагоровата теорема; при 60° остава допълнителният член −ab.
Още от „Тригонометрия“
Дай му 15 минути днес
Първата тренировка намира нивото. Оттам нататък Wunderkind избира задачите — ти само гледаш как се движи.