Задачи по Логаритмична функция

Отговор: 4

Идея: Логаритъмът отговаря на въпроса: на каква степен трябва да се повдигне основата, за да се получи числото. 1) Търсим x, за което 2ˣ = 16. 2) 2⁴ = 16, значи x = 4. Отговор: 4 Проверка: 2 на степен 4 наистина е 16. Внимание: Логаритъмът е показател на степен — не е деление на числото на основата.

• 2⁵ = 32
• 32⁵ = 2
• 5² = 32
• 2 · 5 = 32

Отговор: 2⁵ = 32

Идея: Логаритъмът и степента са две страни на едно и също: log_a b = n ⟺ aⁿ = b. 1) Основата 2 остава основа на степента. 2) Стойността на логаритъма 5 става показател. 3) Аргументът 32 става резултат: 2⁵ = 32. Отговор: 2⁵ = 32 Проверка: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Внимание: Основата не сменя мястото си — тя е основа и в двата записа.

Отговор: 7

Идея: Логаритъмът отговаря на въпроса: на каква степен трябва да се повдигне основата, за да се получи числото. 1) Търсим x, за което 3ˣ = 2187. 2) 3⁷ = 2187, значи x = 7. Отговор: 7 Проверка: 3 на степен 7 наистина е 2187. Внимание: Логаритъмът е показател на степен — не е деление на числото на основата.

Отговор: 8

Идея: Логаритъмът отговаря на въпроса: на каква степен трябва да се повдигне основата, за да се получи числото. 1) Търсим x, за което 2ˣ = 256. 2) 2⁸ = 256, значи x = 8. Отговор: 8 Проверка: 2 на степен 8 наистина е 256. Внимание: Логаритъмът е показател на степен — не е деление на числото на основата.

Отговор: 12

Идея: Сбор на логаритми с една основа е логаритъм от произведението. 1) log₂ 64 = 6 и log₂ 64 = 6. 2) 6 + 6 = 12. 3) Същото се вижда и така: log₂(64 · 64) = log₂ 4096 = 12. Отговор: 12 Проверка: 2¹² = 4096 — точно 64 · 64. Внимание: Логаритмите се събират, а числата вътре се умножават — не обратното.

Отговор: 32

Идея: Сбор от логаритми с една основа е логаритъм от произведението; накрая всеки корен се проверява в дефиниционното множество. 1) ДМ: и двата аргумента са положителни, т.е. x > 30. 2) log₂ (x(x − 30)) = 6, значи x(x − 30) = 2⁶ = 64. 3) x² − 30x − 64 = 0 има корени x = 32 и x = −2. 4) x = −2 не е в ДМ и отпада. Отговор: x = 32 Проверка: log₂ 32 + log₂ 2 = log₂ 64 = 6. Внимание: Отрицателният корен на квадратното уравнение не е решение — логаритъм от отрицателно число не съществува.