Задачи по Показателна функция

Отговор: 4

Идея: Показателната функция повдига основата на степен, равна на аргумента. 1) f(2) = 2² = 2 · 2. 2) = 4. Отговор: 4 Проверка: f(1) = 2, а f(2) е 2 пъти повече: 2 · 2 = 4. Внимание: При всяка стъпка по x стойността се умножава по 2, а не се увеличава с 2.

Отговор: 5

Идея: Записваме дясната страна като степен на същата основа; тогава показателите се приравняват. 1) 32 = 2⁵. 2) 2ˣ = 2⁵ дава x = 5. Отговор: x = 5 Проверка: 2⁵ = 32 — заместването е вярно. Внимание: Показателната функция е строго растяща при основа над 1, затова решението е единствено.

Отговор: 15309

Идея: Многократно умножение по един и същ множител е степен: N = N₀ · q на степен броя периоди. 1) След 1 час: 21 · 3 = 63. 2) След 6 часа: 21 · 3⁶ = 21 · 729 = 15309. Отговор: 15309 бактерии Проверка: Обратно: 15309 : 729 = 21 — началният брой. Внимание: Растежът не е с 3 на час, а 3 пъти — затова числата растат много по-бързо.

Отговор: 100000

Идея: Показателната функция повдига основата на степен, равна на аргумента. 1) f(5) = 10⁵ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10. 2) = 100000. Отговор: 100000 Проверка: f(4) = 10000, а f(5) е 10 пъти повече: 10000 · 10 = 100000. Внимание: При всяка стъпка по x стойността се умножава по 10, а не се увеличава с 10.

Отговор: 5

Идея: 4ˣ = (2ˣ)², затова полагаме t = 2ˣ > 0 и решаваме квадратно уравнение. 1) С t = 2ˣ: t² − 18t + 32 = 0. 2) Корените са t = 2 и t = 16. 3) 2ˣ = 2 = 2¹ дава x = 1; 2ˣ = 16 = 2⁴ дава x = 4. Отговор: 1 + 4 = 5 Проверка: При x = 4: 256 − 18 · 16 + 32 = 0. Внимание: 2ˣ е винаги положително — отрицателен корен за t не дава решение за x.

Отговор: 4

Идея: 4ˣ = (2ˣ)², затова полагаме t = 2ˣ > 0 и решаваме квадратно уравнение. 1) С t = 2ˣ: t² − 17t + 16 = 0. 2) Корените са t = 1 и t = 16. 3) 2ˣ = 1 = 2⁰ дава x = 0; 2ˣ = 16 = 2⁴ дава x = 4. Отговор: 0 + 4 = 4 Проверка: При x = 4: 256 − 17 · 16 + 16 = 0. Внимание: 2ˣ е винаги положително — отрицателен корен за t не дава решение за x.