Задачи по НОД и НОК
Около 200 задачи по темата „НОД и НОК“, подредени от лесни към трудни. Всяка с отговор и обяснение стъпка по стъпка.
Подходящи за
Примерни задачи: НОД и НОК
Първите няколко от банката, от по-лесното нагоре.
-
Намери най-големия общ делител на 12 и 10.
Отговор: 2
Идея: Разлагаме двете числа на прости множители и вземаме общите с най-малките степени. 1) 12 = 2 · 2 · 3. 2) 10 = 2 · 5. 3) Общите множители дават НОД(12, 10) = 2. Отговор: НОД = 2 Проверка: 12 : 2 = 6 и 10 : 2 = 5, а тези две числа вече нямат общ делител. Внимание: НОД е делител и на двете числа, затова не може да е по-голям от по-малкото (10).
-
Две ленти са дълги 12 см и 15 см. Разрязват се на еднакви парчета с най-голяма възможна цяла дължина, без остатък. Колко сантиметра е дълго едно парче?
Отговор: 3
Идея: Дължината на парчето трябва да дели и двете ленти — търси се най-големият общ делител. 1) 12 = 2 · 2 · 3, 15 = 3 · 5. 2) НОД(12, 15) = 3 см. 3) Тогава парчетата са 4 от първата лента и 5 от втората, общо 9. Отговор: 3 см Проверка: 3 · 4 = 12 и 3 · 5 = 15 — нищо не остава. Внимание: По-голямо парче не става: то вече няма да дели едната лента точно.
-
Един автобус тръгва на всеки 11 минути, друг — на всеки 10 минути. В 6:00 ч тръгват заедно. След колко минути ще тръгнат заедно отново?
Отговор: 110
Идея: Заедно тръгват в моменти, кратни едновременно на 11 и на 10 — това е НОК. 1) Кратните на 11: 11, 22, 33, 44, ... 2) Кратните на 10: 10, 20, 30, 40, ... 3) Първото общо е 110 минути (НОД(11, 10) = 1, затова 11 · 10 : 1 = 110). Отговор: след 110 минути Проверка: 110 : 11 = 10 курса на първия и 110 : 10 = 11 курса на втория. Внимание: Сборът 11 + 10 = 21 не значи нищо тук — двата автобуса не се редуват.
-
Намери най-големия общ делител на 114 и 108.
Отговор: 6
Идея: Разлагаме двете числа на прости множители и вземаме общите с най-малките степени. 1) 114 = 2 · 3 · 19. 2) 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3. 3) Общите множители дават НОД(114, 108) = 6. Отговор: НОД = 6 Проверка: 114 : 6 = 19 и 108 : 6 = 18, а тези две числа вече нямат общ делител. Внимание: НОД е делител и на двете числа, затова не може да е по-голям от по-малкото (108).
-
Две ленти са дълги 126 см и 154 см. Разрязват се на еднакви парчета с най-голяма възможна цяла дължина, без остатък. Колко сантиметра е дълго едно парче?
Отговор: 14
Идея: Дължината на парчето трябва да дели и двете ленти — търси се най-големият общ делител. 1) 126 = 2 · 3 · 3 · 7, 154 = 2 · 7 · 11. 2) НОД(126, 154) = 14 см. 3) Тогава парчетата са 9 от първата лента и 11 от втората, общо 20. Отговор: 14 см Проверка: 14 · 9 = 126 и 14 · 11 = 154 — нищо не остава. Внимание: По-голямо парче не става: то вече няма да дели едната лента точно.
-
Един автобус тръгва на всеки 12 минути, друг — на всеки 33 минути. В 9:00 ч тръгват заедно. След колко минути ще тръгнат заедно отново?
Отговор: 132
Идея: Заедно тръгват в моменти, кратни едновременно на 12 и на 33 — това е НОК. 1) Кратните на 12: 12, 24, 36, 48, ... 2) Кратните на 33: 33, 66, 99, 132, ... 3) Първото общо е 132 минути (НОД(12, 33) = 3, затова 12 · 33 : 3 = 132). Отговор: след 132 минути Проверка: 132 : 12 = 11 курса на първия и 132 : 33 = 4 курса на втория. Внимание: Сборът 12 + 33 = 45 не значи нищо тук — двата автобуса не се редуват.
Още от „Числа“
Дай му 15 минути днес
Първата тренировка намира нивото. Оттам нататък Wunderkind избира задачите — ти само гледаш как се движи.