Задачи по Броене и комбинаторика

Отговор: 4

Идея: Махнатите квадратчета не се виждат, затова се броят наопаки: колко са всичките и колко са останали — разликата са махнатите. 1) Целият квадрат: 3 реда по 3 квадратчета правят 3 · 3 = 9. 2) Останали са оцветените — по редове отгоре надолу: 2 + 2 + 1 = 5. 3) Махнати са тези, които не достигат до 9: 9 − 5 = 4. Отговор: 4 лепенки Проверка: Ако дупките се преброят направо, по редове се получава 1 + 1 + 2 = 4 — същото число. Внимание: Оцветените са 5, но въпросът не е за тях. И ред, от който не е останало нищо, си остава ред от квадрата — пунктираната линия го показва.

Отговор: 8

Идея: Махнатите квадратчета не се виждат, затова се броят наопаки: колко са всичките и колко са останали — разликата са махнатите. 1) Целият квадрат: 4 реда по 4 квадратчета правят 4 · 4 = 16. 2) Останали са оцветените — по редове отгоре надолу: 1 + 2 + 2 + 3 = 8. 3) Махнати са тези, които не достигат до 16: 16 − 8 = 8. Отговор: 8 марки Проверка: Ако дупките се преброят направо, по редове се получава 3 + 2 + 2 + 1 = 8 — същото число. Внимание: Оцветените са 8, но въпросът не е за тях. И ред, от който не е останало нищо, си остава ред от квадрата — пунктираната линия го показва.

Отговор: 6

Идея: Всеки се ръкува с останалите 3, но всяко ръкуване се брои от двама души — затова се дели на 2. 1) 4 · 3 = 12 — така всяко ръкуване е броено два пъти. 2) 12 : 2 = 6. Отговор: 6 ръкувания Проверка: За 2 души формулата дава 1 ръкуване, за 3 — 3. Расте като триъгълните числа. Внимание: Без делението на 2 отговорът излиза 12 — всяко ръкуване броено по два пъти.

Отговор: 21

Идея: Брой комбинации без значение на реда: C(n, k) = n! : (k! · (n − k)!). 1) Подредени избори: 7 · 6 = 42. 2) Всеки отбор е броен 2! = 2 пъти, защото редът не е важен. 3) 42 : 2 = 21. Отговор: 21 начина Проверка: C(7, 2) = C(7, 5) = 21 — двете допълващи се задачи имат еднакъв отговор. Внимание: Ако редът имаше значение, отговорът щеше да е 42.

Отговор: 45

Идея: Брой комбинации без значение на реда: C(n, k) = n! : (k! · (n − k)!). 1) Подредени избори: 10 · 9 = 90. 2) Всеки отбор е броен 2! = 2 пъти, защото редът не е важен. 3) 90 : 2 = 45. Отговор: 45 начина Проверка: C(10, 2) = C(10, 8) = 45 — двете допълващи се задачи имат еднакъв отговор. Внимание: Ако редът имаше значение, отговорът щеше да е 90.

Отговор: 10080

Идея: Слепваме близнаците в един „блок“: остават 7 обекта за подреждане, а вътре в блока има 2 подредби. 1) Подреждания на 7 обекта: 7! = 5040. 2) Близнаците вътре в блока: 2 начина. 3) 5040 · 2 = 10080. Отговор: 10080 начина Проверка: Без условието подрежданията са 40320; с условието са по-малко — 10080 < 40320. Внимание: Умножението по 2 е задължително: „АБ“ и „БА“ вътре в блока са различни редици.